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概率与概率密度的区别(概率和概率密度的区别)

先看概率和概率密度的定义:

若存在非负可积函数 f(x), 使随机变量X取值于任一区间 (a, b] 的概率可表示成

概率与概率密度的区别(概率和概率密度的区别)  第1张

图1

可以看出,概率密度是可以大于1的,而且可以是一个很大的数字,而概率则不可能。

它的分布函数:

概率与概率密度的区别(概率和概率密度的区别)  第2张

也就是说,因为要满足概率小于1的条件,那就必然导致:当概率密度越大的时候,其分布的区间就越小。

我们可以举一个例子:

概率与概率密度的区别(概率和概率密度的区别)  第3张

假设两个队伍比赛投篮球,规定谁先投中十次谁赢。

如果一队每分钟有十个人投篮,二队则是五个人,假设参赛队员的水平都差不多,那我们知道,其结果基本可以肯定是一对会赢,因为一队的投篮频率更高,投中的次数自然更多,概率密度函数的本来意义,就是表示随机试验在对应的x点处出现的频率(f(x)),那么,这个每分钟的投篮频率,我们就可以认为是概率密度函数。也就是说,

概率密度函数可以理解为:单位时间内进行的随机试验的次数。

因为规定了投中十次就算赢,因此,投篮密度越大,需要持续的时间就越短。

还有一点值得注意,那就是对于连续型随机变量来说,其单点概率为0,这很自然,因为数学上的点是没有大小的,因此,对于图1中的积分来说,当积分区间长度为0的时候,其积分结果必然也是0。但是,单点的概率密度并不是0,而是x取某个值的时候的函数值f(x)。

这一点还是可以和投篮的例子相联系:

当我们观察一个时间段里面的投篮人数,当这个时间段非常短的时候,投篮人数必然为0(概率);但是,已经规定了一分钟内至少要有五人投完一次,这个概率密度却始终存在。

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